Chương III - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Kiểm tra kiến thức cũ:
1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:
a)Vì nên N là trung điểm của đoạn MP
1
0 (0 0 )
2
I A B= +
uur uuur uur
0AB BC CD DA+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
, ,AB AC AD
uuur uuuuruuur
2 8AB AC AD= −
uuur uuur uuur
0NM NP+ =
uuuur uuur r
b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0
bất kì ta có:
c)Từ hệ thức ta suy ra 3 véc tơ
sau đồng phẳng.

d) Vì nên 4 điểm A,B,C,D
cùng thuộc một mặt phẳng
d)

Kiểm tra kiến thức cũ:
2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tính tích
vô hướng của 2 véc tơ sau: ; ;
c)
.AB AC
uuur uuur
.AC CB
uuur uuur
.GA BC
uuur uuur
G
B
C
A
Lời giải:
b)
OS( , )GA BC C GA BC=
uuur uuur uuur uuur
OS( , )AC CB C AC CB=
uuur uuur uuur uuur
0
2 3
. os90
3 2
a
a c=
0
. . os120a a c=
0
. . os60a a c=
OS( , )AB AC C AB AC=
uuur uuur uuur uuur
a)
.AB AC
uuur uuur
.AC CB
uuur uuur
.GA BC
uuur uuur
2
1
2
a=
2
1
2
a= −
0=
Để giải bài toán trên.
Một em hãy nhắc lại cách xác định
Góc giữa 2 véc tơ và
Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ

Ôn tập kiến thức: Tích vô hướng của 2 véc tơ
1. Góc giữa 2 véc tơ:
0
A
B
. 0a b =
r r
* . 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
0 hay 0 a b= =
r r r r
2
2
* .a a a a= =
uur
r r r
b
r
a
r
0 0
( , ) 0 (0 ( , ) 180 )a b A B a b= ∠ ≤ ≤
r r r r
2. Tích vô hướng của 2 véc tơ:
. os( , ) ( , 0)a b a b c a b a b= ≠
r r r r r r r r r
Nếu:
Thì ta quy ước
3.Tính chất:
1) . .
2) .( ) . .
3) (k. ). .( ) ( . )
a b b a
a b c a b a c
a b a kb k a b
=
+ = +
= =
r r r r
r r r r r r r
r r r r r r

*
Cho hình lập phương (hình bên)
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Cặp đường thẳng
nào không
vuông góc với
nhau?
a) AC & BD
b) AB & B’C’
c) AC & B’C’.
d) AC’ & BD
Đó chính là nội dung bài
học hôm nay.
Cơ sở nào biết được?

§2.Hai đường thẳng vuông góc
. os( , )u v u v c u v=
r r r r r r
1.Góc giữa hai véc tơ trong không gian:
2. Tích vô hướng của hai
véc tơ trong không gian:
I.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
0
B
v
r
u
r
0 0

(0 ( , ) 180 )
( , ) 0
u v
u v A B
≤ ≤
= ∠
r r
r r
A
. 0u v =
r r
( 0, 0)u v≠ ≠
r r r r
Thì ta quy ước
0 hay 0 u v= =
r r r r
Nếu:

H
B
D
A
C
Ví dụ1:Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm AB.
Hãy tính góc giữa các cặp véc tơ sau:
) & a AB BC
uuur uuur
) & b CH AC
uuur uuur
0
( , ) 120AB BC =
uuur uuur
Lời giải:
Với tứ diện đều, ta có:
0
( , ) 150CH AC =
uuur uuur
b)
a)
B’
A’

Ví dụ2:Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa 2 véc tơ
0
( , ) 120OM BC =
uuuur uuur
.
( , )
.
os
OM BC
OM BC
OM BC
c
=
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
.
2
. 2
2
OM BC
=
uuuur uuur
M
O
B
C
A
Lời giải:
Ta có:
Mặt :
&OM BC
uuuur uuur
1
OS( , )
2
C OM BC = −
uuuur uuur
2
. . . 0 & 1OA OC OA OB OB OC OB= = = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2
1
( . . . )
2
OA OC OA OB OB OC OB= − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( . )OM BC
uuuur uuur
1
( ).( )
2
OA OB OC OB= + −
uuur uuur uuur uuur
≠
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên:
Do đó: Vậy:

Ví dụ 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Hãy phân tích véc tơ theo 3 véc tơ:
b)Tính: & từ đó suy ra .
' &AC BD
uuuur uuur
, , 'AB AD AA
uuur uuur uuur
OS( ', )C AC BD
uuuur uuur
'AC BD⊥
uuuur uuur
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Ta có:
Lời giải:
' 'AC AB AD AA= + +
uuuur uuur uuur uuur
2 2
. - . '. '.AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB= + − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
'. ( ')( )AC BD AB AD AA AD AB= + + −
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 2
'. = '. =0 & = =1AA AD AA AB AB AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
'. '.
OS( ', )
3. 2
' .
AC BD AC BD
C AC BD
a a
AC BD
= =
uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
àv BD AD AB= −
uuur uuur uuur
OS( ', ) 0C AC BD =
uuuur uuur
⇒
a)
b)
Mặt khác:
0
( ', ) 90AC BD =
uuuur uuur
'AC BD⊥
uuuur uuur
⇒
Mà:
Ta có:
Vậy

*
0
r
b
r
d
Véc tơ nào là véc tơ
chỉ phương của
đường thẳng (d) ?
a
r
c
r
II.VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
*ĐN: ,được gọi là véc tơ chỉ
phương của đường thẳng (d) nếu giá
của véc tơ song song hoặc trùng với
đường thẳng (d).
a
r
0a ≠
r r

Vậy góc giữa
2 đường
thẳng trong
không gian
được xác
định như thế
nào?
0b’
a’
b
a
III.Góc giữa hai đường thẳng
ĐN: Góc giữa 2 đường thẳng a & b trong k
0
gian
là góc giữa 2 đường thẳng a’ & b’ cùng đi qua 1
điểm và lần lượt song song với a & b.
Chú ý: Nếu , là các véc tơ chỉ phương
của các đường thẳng a, b
u
r
v
r
0 0
0 0 0
( , ) khi 0 ( , ) 90
( , )
180 ( , ); khi 90 ( , ) 180
u v u v
a b
u v u v

≤ ≤
=

− < ≤


r r r r
r r r r
Thì:

Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C.
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Lời giải:
a) Góc giữa 2 đường thẳng:
AB và B’C’ là: 90
0
b) Góc giữa 2 đường thẳng:
AC và B’C’ là: 45
0
c) Góc giữa 2 đường thẳng:
A’C’ và B’C là: 60
0

Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a
& BC = .Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC
2a
. 0AC AB =
uuur uuur
A
B
C
S
0
(S , ) 120A AB =
uur uuur
2a
2 2
( 2)BC a=
2 2
a a= +
2 2
AC AB= +
.
( , )
.
os
SC AB
SC AB
SC AB
c
=
uur uuur
uur uuur
uur uuur
2
2
1
2
( , )
2
os
a
SC AB
a
c
−
= = −
uur uuur
0
( , ) 120SC AB =
uur uuur
2
. .
( , )
os
SA AB AC AB
SC AB
a
c
+
=
uur uuur uuur uuur
uur uuur
( ).
.
SA AC AB
a a
+
=
uur uuur uuur
Lời giải:
Ta có:
Vì:
*Nên
Tam giác SAB đều nên
*và do đó
2
0
S . . . os120
2
a
A AB a a c= = −
uur uuur
Vậy:
Do đó:
Ta suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB & SC =180
0
-120
0
=60
0
.

*
*
Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 90
0

thì 2 đường thẳng đó
như thế nào?
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1.ĐN:
0
( , ) 90a b a b⊥ ⇔ =
2. Nhận xét:
* Nếu lần lượt là véc tơ chỉ phương
của 2 đường thẳng a, b thì:
,u v
r r
. 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
* a // b , nếu c a thì c b.
⊥
⊥
* a b⊥ ⇒
Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Xem chi tiết: Chương III - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc