LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp": http://123doc.vn/document/1052222-ham-don-diep-va-mot-so-tinh-chat-cua-ham-don-diep.htm
1. Các khái niệm cơ bản
C là mặt phẳng phức, X C.
- Giả sử z
0
C và r > 0. Ta gọi đĩa mở hay hình tròn mở tâm z
0
, bán kính r là tập S(z
0
, r)
= {z C:
||
z-z
0
< r}. Hình tròn S(z
0
, r) cũng thường gọi là - lân cận của điểm z
0
.
- Giả sử r > 0 bất kỳ, tập hợp các điểm z C: 0 <
||
z-z
0
< r gọi là - lân cận thủng của
điểm z
0
C.
- Tập X gọi là mở nếu mọi z
0
X, tồn tại hình tròn tâm z
0
, bán kính r > 0 sao cho S(z
0
, r
) C.
- Điểm z
0
được gọi là điểm biên của X nếu mọi hình tròn S(z
0
, r), r > 0 đều chứa những
điểm thuộc X và những điểm không thuộc X. Tập tất cả những điểm biên của X được gọi là
biên của X, kí hiệu ∂X.
- Điểm z
0
được gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn S(z
0
, r), r > 0 đều chứa một
phần tử nào đó của X. Tập tất cả điểm dính của X gọi là bao đóng của X, kí hiệu
X
.
- Điểm z
0
được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại r > 0 sao cho S(z
0
, r) X.
Tập tất cả các điểm trong của X gọi là phần trong của X, kí hiệu
o
X.
Dễ thấy
X
= X ∂X,
o
X = X\∂X.
- Tập X được gọi là đóng nếu X =
X
hay nói cách khác X ∂X.
- Tập X được gọi là bị chặn nếu có một số dương R sao cho hình tròn
||
z
< R chứa toàn
bộ tập X.
- Điểm z
0
được gọi là điểm cô lập của X nếu có một lân cận thủng của z
0
trong đó không
có một điểm nào của X.
- Tập X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập hợp mở A, B sao cho X A ≠
, X B ≠ ; X A B = ; X A B.
- Miền là một tập hợp con X của C có hai tính chất:
i) Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn
toàn trong X (tính mở).
ii) Có thể nối hai điểm bất kì thuộc X bằng một đường cong nằm
hoàn toàn trong X (tính
liên thông).
- Miền X có biên là một tập liên thông gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X có biên là
một tập không liên thông gọi là miền đa liên.
- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường
cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng còn gọi là chu
tuyến.
- Miền X được gọi là miền Jordan nếu biên ∂X của nó gồm những đường cong Jordan
đóng.
- Giả sử (t) và (t) là các hàm thực liên tục trên [a,b
] của đường thẳng thực. Khi đó
phương trình z = z(t) = (t) + i (t), a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham số một đường cong L =
z([a,b]) trong mặt phẳng phức C. Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm (t), (t) có đạo hàm
liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng 0 với mọi t [a,b]. Đường cong liên tục tạo
bởi một số hữu hạn các đư
ờng cong trơn được gọi là trơn từng khúc.
- Xét hàm số = f(z), với mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số gọi là
hàm số đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị của hàm số gọi
là hàm số đa trị.
- Hàm giải tích: Nếu hàm số = f(z) có đạo hàm tại z = z
0
và tại mọi điểm trong lân cận
của điểm z
0
thì f(z) giải tích tại z
0
và z
0
là một điểm thường của f(z). Một hàm giải tích tại mọi
điểm của X được gọi là giải tích trong X.
- Điểm chính quy: Giả sử f giải tích trong miền (liên thông) X và z
0
là một điểm biên của
X. Ta nói z
0
là điểm chính quy của f nếu tồn tại lân cận mở liên thông của z
0
và một hàm g
giải tích trong sao cho g trùng với f trong một tập hợp mở khác rỗng của X nhận z
0
làm
điểm biên. Trong trường hợp ngược lại ta nói z
0
là một điểm kì dị của f.
- Điểm z
0
C (mặt phẳng phức mở rộng) được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm
số f(z) nếu có một lân cận thủng của z
0
(nếu z
0
là điểm hữu hạn thì lân cận thủng đó là 0 <
||
z-z
0
< r, r > 0; nếu z
0
là điểm vô hạn thì lân cận thủng là r <
||
z
< ∞, r > 0) trong đó hàm số f(z) giải
tích, nhưng chính tại z
0
thì hàm số không giải tích. Điểm bất thường cô lập được chia hành ba
loại:
i) Điểm bất thường bỏ được nếu lim
z z
0
f(z) = A ≠ ∞
ii) Cực điểm nếu lim
z z
0
f(z) = ∞
iii) Điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi z z
0
- Chuỗi hàm
i = +∞
i = -∞
a
i
(z-z
0
)
i
gọi là chuỗi hàm Laurent và khai triển
f(z)=
i = +∞
i = -∞
a
i
(z-z
0
)
i
=
i = +∞
i = 0
a
i
(z-z
0
)
i
+
i = -1
i = -∞
a
i
(z-z
0
)
i
trong lân cận thủng của z
0
gọi là khai triển
Laurent. Chuỗi Laurent gồm hai bộ phận: một bộ phận gồm các số hạng có số mũ không âm,
gọi là phần đều; một bộ phận gồm các số hạng có số mũ âm, gọi là phần chính.
- Điểm bất thường cô lập z
0
của hàm số f(z) là cực điểm của nó khi và chỉ khi phần chính
trong khai triển Laurent của f(z) trong lân cận thủng của z
0
chỉ chứa một số hữu hạn số hạng
i = +
i = -n
a
i
(z-z
0
)
i
, trong đó a
-n
≠ 0 .
- Cho hàm số f xác định trên miền X. Xét lim
∆z 0
f(z+∆z)-f(z)
∆z
, z, ∆z X. Nếu tại z giới
hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của hàm f tại điểm z, kí hiệu f’(z) hay
df(z)
dz
.
Hàm f có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C-khả vi tại z.
- Hàm số f xác định trên miền X được gọi là chỉnh hình tại điểm z
0
nếu tồn tại số dương
r sao cho f là
C-khả vi tại mọi z S(z, r). Hàm f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X gọi là chỉnh
hình trên X.
- Nếu trong mặt phẳng
C mọi điểm bất thường của hàm số f(z) đều là điểm cô lập và
không phải là điểm bất thường cốt yếu (nghĩa là chỉ có thể là điểm bất thường bỏ được hoặc cực
điểm) thì f(z) là một hàm phân hình.
- Ánh xạ f gọi là bảo giác tại mọi điểm của tập mở X nếu nó giải tích trong X và f’(z)
≠ 0, z
X.
- Hàm số f(z) gọi là khai triển được tại điểm a nếu nó phân tích được thành chuỗi luỹ
thừa theo (z-a) tại lân cận của điểm a.
- Hàm số f(z) gọi là chuẩn hoá được tại điểm
0
z nếu f(
0
z ) = 0 và f’(
0
z ) = 1.
2. Một số định lí sử dụng trong luận văn
- Định lí Ruse: Giả sử f và g chỉnh hình trong miền đóng
X
với biên liên tục
X
và giả sử
()
f
z > ()gz với mọi z
X
. Khi đó các hàm f và (f + g) có số 0-điểm như nhau trong X.
- Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm
n
f
chỉnh hình trong miền X, hội tụ đều trên tập con
compắc K
X bất kì đến hàm f ≠ const. Khi đó, nếu f(
0
z ) = 0 thì trong hình tròn {
0
zz
< r}
X bất kì mọi hàm
n
f
, bắt đầu từ hàm nào đó, đều bị triệt tiêu.
- Định lí Liouville: Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt phẳng
C và giới nội thì nó là
hằng số.
- Định lí Joukowski: Nếu a là điểm bất thường cốt yếu của hàm f thì với số b
C
bất kì,
ta có thể tìm dãy điểm
n
z a sao cho limf(
n
z ) = b.
- Định lí Weierstrass: Cho
1
f
,
2
f
,…là dãy hàm giải tích trong tập mở A C. Giả sử dãy
hàm này hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến một hàm f. Khi đó f cũng giải tích trong
A. Hơn nữa, dãy {
'
n
f
} cũng hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến hàm f’.
- Nguyên lí môđun cực tiểu: Nếu hàm f chỉnh hình trong miền X và không bị triệt tiêu
trong miền ấy thì
f
có thể đạt cực tiểu (địa phương) trong X chỉ trong trường hợp f = const.
- Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình trong miền X
C, G X là miền mà
biên
G là đường cong liên tục và G không chứa 0-điểm và cực điểm của f. Gọi N và P lần
lượt là tổng số các 0-điểm và tổng số các cực điểm của f trong G. Khi đó N - P =
1
2
G
argf(z).
- Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f chỉnh hình trong hình tròn D:
z < 1 và
()
f
z ≤ 1, z D, f(0) = 0. Khi đó z D: ()
f
z ≤ z .
Đẳng thức xảy ra khi f(x) =
i
e
z, là hằng số thực.
- Bất đẳng thức Lebedev-Milin thứ hai: Gọi
là một hàm giải tích trong một lân cận của
0 mà
(0) = 0 và (z) =
1
k
k
k
z
, gọi ψ(z) =
()z
e
=
0
k
k
k
z
,
0
= 1. Khi đó, với mọi n = 1,
2,…thì
2
0
k
k
≤ (n + 1)exp{
1
1n
2
11
1
()
nm
k
mk
k
k
}.
Chương 1:
HÀM ĐƠN DIỆP
1.1. Khái niệm hàm đơn diệp
1.1.1. Hàm đơn diệp
Một hàm của biến phức z xác định trên tập A C là một quy luật f, theo nó mỗi giá trị z
A được đặt tương ứng một giá trị f(z) C. Như vậy, một hàm số f xác định trên A là một
ánh xạ f: A
C, z
f(z): = . Khi đó, A gọi là tập xác định của f; tập hợp gồm tất cả các giá
trị
của f(z) lấy trên A gọi là tập các giá trị. Khi ánh xạ f: A C là đơn ánh thì hàm f được
gọi là đơn diệp (hay 1-lá).
Ví dụ: Ánh xạ
a
: D D với D = {z C:
||
z
< 1} thoả mãn
a
(z) =
1
za
az
, a D là đơn diệp.
Có thể xảy ra một hàm không đơn diệp trên
C nhưng có thể chia C thành các miền con
D
1
, D
2
,…để trên D
1
, D
2
,…hàm f đơn diệp. Khi đó mỗi miền D
i
, i = 1, 2,…được gọi là một miền
đơn diệp của f.
Ví dụ: Xét hàm
= z
n
, n ≥ 2. Dễ thấy, nếu A C không chứa các điểm z
1
, z
2
sao cho
||
z
1
=
||
z
2
và arg(z
1
- z
2
) =
k2
n
thì = z
n
đơn diệp trên A. Nói riêng, tập A
n
= {z = re
i
: 0 ≤ r
<
, 0 ≤ <
2
n
} thoả mãn điều kiện trên.
Một hàm f được gọi là đơn diệp trong một lân cận của
nếu và chỉ nếu g(z) = f(
1
z
) đơn
diệp trong một lân cận của 0.
Ví dụ: Hàm w = z +
1
z
đơn diệp trong z > 1; hàm w =
az b
cz d
(ad-bc
≠ 0) đơn diệp trong C .
Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp trên A thì
1
()
f
z
cũng đơn diệp trên A và ngược lại.
1.1.2. Một số kết quả cơ bản
- Nếu hàm phân hình (trong trường hợp đặc biệt là hàm giải tích) = f(z) là hàm đơn
diệp trong miền A thì tại mọi điểm chính quy của miền này đạo hàm của nó sẽ khác không.
Thật vậy, nếu tại điểm z
0
nào đó mà f(z
0
) = a, f’(z
0
) = 0 thì z
0
là a-điểm có bội lớn hơn 1.
Khi đó theo một trong các hệ quả của Định lí Ruse, với b đủ gần a, f(z) sẽ nhận giá trị b nhiều
hơn một lần. Điều này trái với giả thiết đơn diệp.
Tuy nhiên, khi đạo hàm của hàm w = f(z) khác 0 trên toàn miền xác định A thì chưa chắc
là đơn diệp.
Chẳng hạn, đạo hàm của hàm w = f(z) = (z-1)
n
, n ≥ 3 khác 0 trên toàn miền D = {z C:
||
z
< 1}
nhưng nó không đơn diệp trên D.
- Hàm đơn diệp
= f(z) trong miền A có thể có không nhiều hơn một cực điểm, trong đó
cực điểm chỉ có thể là cực điểm đơn.
Thật vậy, nếu z
0
là một cực điểm đối với hàm = f(z) thì z
0
là 0-điểm đối với hàm
1
f(z)
. Vì
1
f(z)
cũng là hàm đơn diệp nên z
0
là 0-điểm đơn đối với hàm
1
f(z)
. Suy ra z
0
là cực điểm đơn đối
với hàm f(z).
- Mọi hàm giải tích
= f(z) đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bất
kì mà tại đó đạo hàm của nó khác không.
Thật vậy, giả sử f’(z
0
) ≠ 0. Nếu tại mọi lân cận của z
0
mà f(z) không đơn diệp thì sẽ tồn
tại hai dãy điểm a
n
, b
n
sao cho a
n
z
0
, b
n
z
0
; a
n
≠ b
n
, f(a
n
) = f(b
n
). Khi đó, giả sử là
đường tròn có tâm tại z
0
, bán kính , sao cho f(z) ≠ f(z
0
) với 0 <
||
z-z
0
≤ . Rõ ràng hàm f(z)-
f(z
0
) chỉ có một 0-điểm bên trong (kể cả bội) và không có 0-điểm trên .
Mặt khác, do f(z)-f(a
n
) f(z)-f(z
0
) đều trên nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn thì
f(z)-f(a
n
) cũng có một 0-điểm bên trong (kể cả bội). Do đó ta thấy mâu thuẫn vì với n đủ lớn
thì hàm này có các 0-điểm là a
n
, b
n
bên trong .
Chú ý rằng nếu w = f(z) đơn diệp thì hàm số ngược z = f
-1
(w) chỉ giải tích trong một lân
cận nào đó của w
0
= f(z
0
). Chẳng hạn, hàm số w = z
2
giải tích trong miền A:
1
1
2
3
0arg
2
z
z
và
trong A có w’ = 2z
≠ 0. Song, qua phép ánh xạ w = z
2
biến A thành hình vành khăn
1
1
4
w
,
trong nửa trên của hình vành khăn này hàm số z = f
-1
(w) không đơn trị.
- Mọi hàm phân hình đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của cực điểm đơn
bất kì.
Thật vậy, nếu z
0
là cực điểm đơn của f(z) thì z
0
là 0-điểm đơn đối với hàm
1
f(z)
.
Suy ra
1
f(z)
là hàm đơn diệp trong một lân cận của z
0
. Do đó f(z) cũng là đơn diệp trong lân cận
này.
- Mọi hàm phân hình f(z) đơn diệp trong miền A đều cho ta một ánh xạ bảo giác
= f(z)
từ miền A lên miền giá trị tương ứng của hàm f(z). Điều này được suy từ điều kiện: Đạo hàm
của hàm đơn diệp khác không tại mọi điểm chính quy và cực điểm có thể có là cực điểm đơn.
Ngoài ra còn được suy từ ánh xạ là bảo giác tại điểm mà tại đó hàm số biểu diễn ánh xạ đó có
đạo hàm khác không (hoặc có cực điểm đơn).
Chú ý: Cho hàm f(z) = e
z
xác định trên A. Khi đó, f’(z) = e
z
≠ 0,
z A . Suy ra f(z) bảo giác trên A. Tuy nhiên, f(z) không đơn diệp trên A, vì f(z + k2) =
f(z),
z A. Do đó, chiều ngược lại của ý trên là không đúng.
- Nếu f(z) là hàm phân hình trên cả mặt phẳng thì f(z) là hàm hữu tỉ.
Thật vậy, giả sử z
1
, z
2
,…, z
n
là các cực điểm của f(z) (số lượng của chúng là không âm và
trong số chúng có thể có
). Từ f(z) ta tính tổng các phần chính của f(z) tại các điểm z
1
, z
2
,…,
z
n
. Khi đó ta được hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng. Theo Định lí Liouville thì hàm này là
hàm hằng. Suy ra f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của nó tại các điểm z
1
, z
2
,…, z
n
. Vậy f(z) là hàm hữu tỉ.
- Nếu hàm f(z) là hàm phân hình và đơn diệp trên toàn mặt phẳng thì f(z) là hàm phân
tuyến tính (nghĩa là có dạng
az+b
cz+d
).
Thật vậy, f(z) có thể có không quá một cực điểm và đó chỉ có thể là cực điểm đơn. Theo
nhận xét trên, f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của f(z) tại các cực điểm. Suy ra, ở
trường hợp đang xét, f(z) chỉ có thể có dạng c +
k
z-a
( nếu có cực điểm hữu hạn a), hoặc c + kz
(nếu
là cực điểm). Trường hợp không có cực điểm không xảy ra vì khi đó f(z) là hàm hằng.
Do vậy f(z) là hàm phân tuyến tính. Để ý rằng tất cả các điểm của mặt phẳng đều là giá trị của
f(z).
Ta còn có một lưu ý khác dành cho hàm đơn diệp. Nếu f(z) là hàm đơn diệp trong miền
thu được từ A bằng cách bỏ đi một tập hợp điểm nào đó không có giới hạn bên trong A, thì sau
khi xác định thêm một cách thích hợp tại các điểm của tập hợp đó f(z) sẽ là hàm
đơn diệp trong
miền A.
Thật vậy, các điểm của tập hợp đó là điểm cô lập đặc biệt đối với f(z). Để ý đến tính đơn
diệp của f(z) và Định lí Joukowski, dễ thấy rằng các điểm đặc biệt này không thể là điểm đặc
biệt cốt yếu. Suy ra ta có thể xác định thêm f(z) tại các điểm này một cách tự nhiên để f(z) trở
thành hàm phân hình trong A. Nếu tại hai điểm của A, f(z) nhận giá trị a giống nhau thì tại lân
cận bất kì đủ nhỏ của hai điểm này f(z) sẽ nhận các giá trị gần với a. Điều này trái với giả thiết
f(z) là đơn diệp trên m
iền xác định ban đầu.
- Từ những ví dụ cơ bản nhất đã chỉ ra rằng tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm đơn diệp
trên miền A có thể không đơn diệp trên A. Đạo hàm, tích phân của một hàm đơn diệp trên A
cũng vậy.
Chẳng hạn, f(z) + g(z)= z(1-z)
-1
+ z(1+iz)
-1
có đạo hàm triệt tiêu tại
1
2
(1+i).
Tuy nhiên, nếu f(z) và g(z) đơn diệp trên A thì hàm hợp g[f(z)] (với điều kiện là g(z)
được xác định trên miền giá trị của f(z)) cũng đơn diệp trên A. Nói cách khác, hợp của hai hàm
đơn diệp là hàm đơn diệp.
- Nếu dãy hàm f
n
chỉnh hình và đơn diệp trong miền A, hội tụ đều trên mỗi tập con
compắc K
A, thì hàm giới hạn f của dãy ấy hoặc là đơn diệp hoặc là hằng số.
Thật vậy, giả sử f(z
1
) = f(z
2
) nhưng z
1
≠ z
2
(z
1
, z
2
A) và f là hằng số. Ta xét dãy hàm
g
n
(z) = f
n
(z)-f
n
(z
2
) và hình tròn = {z C:
||
z-z
1
< r}, trong đó r ≤
||
z
1
-z
2
; hàm giới hạn g(z) =
f(z)- f(z
2
) bằng không tại z
1
, do đó theo Định lí Hurwitz, mọi g
n
(z) bắt đầu từ chỉ số nào đó đều
bằng không trong hình tròn này. Điều này trái với tính đơn diệp của các hàm f
n
.
- Điều kiện f’(z
0
) ≠ 0 là cần và đủ của tính đơn diệp địa phương của hàm f chỉnh hình tại
z
0
.
Tính đủ của điều kiện này cũng có thể thu được từ định lí tổng quát về sự tồn tại hàm ẩn
trong giải tích thực (Jacobian
∂(u,v)
∂(x,y)
=
||
f’(z)
2
của ánh xạ (x,y) (u,v) là khác không tại các
điểm được xét ). Song, đối với các ánh xạ khả vi theo nghĩa giải tích thực bất kỳ, điều kiện
∂(u,v)
∂(x,y)
|
z
0
≠ 0 không phải là điều kiện cần cho tính đơn diệp. Điều này thấy rõ từ ví dụ: Ánh xạ f
= x
3
+ iy có Jacobian bằng không tại z = 0, tuy thế nó là đơn diệp.
Một hàm giải tích f có thể đơn diệp địa phương trên toàn miền A không phải là đủ để f
đơn diệp trên A. Ví dụ: Hàm giải tích f(z) = z
2
đơn diệp địa phương trên A ={z:1 <
||
z
< 2, 0 <
argz <
3
2
} nhưng f không đơn diệp trên A.
- Nếu f giải tích và Re{f’(z)} > 0 trong một miền lồi A thì f đơn diệp trên A.
Thật vậy, cho z
1
, z
2
D, z
1
≠ z
2
. Khi đó:
f(z
2
) - f(z
1
) =
2
1
'( )
z
z
f
zdz
= (z
2
- z
1
)
1
21
0
'( (1 ) )
f
tz t z dt
≠ 0, vì Re{f’(z)} > 0 .
- Mọi hàm gần lồi là đơn diệp. Thật vậy, vì f là hàm gần lồi nên có hàm lồi g sao cho Re{
f’(z)
g’(z)
} > 0. Gọi A là miền xác định của g và xét hàm
h(w) = f(g
-1
(w)), w A. Thế thì h’(w) =
1
1
'( ( ))
'( ( ))
f
gw
gg w
=
'( )
'( )
f
z
gz
.
Suy ra Re{h’(w)} > 0 trong A. Theo kết quả trên thì h đơn diệp. Vì vậy, f cũng đơn diệp.
1.2. Định lí diện tích
Chúng ta đã biết rằng Jacobian của một ánh xạ trơn có thể được xem như hệ số khuếch
đại của diện tích. Vì vậy, nếu f giải tích và đơn diệp trong miền A thì diện tích của miền ảnh B
= f(A) được tính S =
2
'( ) dxd
A
f
zy
. Nếu A là một miền Jordan bị chặn bởi một đường cong
Jordan trơn và f giải tích, đơn diệp trong bao đóng của nó thì theo một ứng dụng của Định lí
Green, diện tích của miền ảnh B = f(A) có thể được tính bằng tích phân theo chu tuyến: S =
1
w
2
wd
i
=
1
() '()
2
C
f
zf zdz
i
với = f(C) là ảnh của C.
Đạo hàm của một hàm giải tích có nhiều ý nghĩa hơn nữa về mặt hình học. Môđun của nó
được xem như hệ số khuếch đại của độ dài cung hoặc độ đo của sự biến dạng. Vì vậy, nếu f giải
tích trên một đường cong trơn C và
= f(C) thì chiều dài cung
là = '( )
C
f
zdz
.
1.2.1. Định lí diện tích trong
Gọi f: D → G, z
f(z) := w, D = {z:
z
< 1}, trong đó f giải tích, đơn
diệp trên D và có khai triển f(z) = z + a
2
z
2
+ a
3
z
3
+…+ a
n
z
n
+…Gọi S là lớp các hàm f có tính
chất như trên.
Định lí 1: Nếu f S thí diện tích của f(D) là A =
2
1
n
n
na
.
Chứng minh
Ta có: w = f(z) = z + a
2
z
2
+ a
3
z
3
+…+ a
n
z
n
+…, z < 1.
Gọi C
r
= {z: z = re
i
, 0 < r < 1, 0 ≤ ≤ 2},
r
= f(C
r
), D
r
= Int(C
r
),
r
= Int(
r
), A
r
là diện tích của
r
.
Hình 1
Khi đó: A
r
=
dud
r
v
=
2
'( ) dxd
r
D
f
zy
=
2
2
00
'( ) drd
r
i
fre r
(1.1) Vì f’(re
i
) = a
1
+ 2a
2
re
i
+…+ na
n
r
n-1
e
i(n-1)
+… =
1(1)
1
nin
n
n
na r e
và
'( )
i
f
re
=
1(1)
1
nim
m
m
ma r e
nên
2
'( )
i
fre
= f’(re
i
)
f’(re
i
)
=
2
222
1
n
n
n
na r
+
0
ik
k
k
ce
, c
k
phụ thuộc vào a
n
và r. Suy ra
2
'( )
i
rf re
=
2
221
1
n
n
n
na r
+
0
ik
k
k
rc e
.
Thế vào (1.1), sau khi tính tích phân ta được
A
r
=
2
1
n
n
na
r
2n
( vì
2
0
ik
ed
= 0 với k ≠ 0 ).
- Nếu A
r
bị chặn, với 0 < r < 1 thì gọi M là cận trên của A
r
, ta sẽ có
2
1
N
n
n
na
r
2n
< M
(1.2)
Với N là số nguyên dương cố định tuỳ ý. Dễ thấy
2
1
N
n
n
na
r
2n
tăng đơn điệu theo r và bị
chặn. Vì thế, lấy giới hạn khi r →
1
của (1.2), ta được
2
1
N
n
n
na
≤ M . Vì tổng riêng
2
1
N
n
n
na
bị chặn nên
2
1
n
n
na
hội tụ.
Cho N →
ta được A =
1
lim
r
r
A
=
2
1
n
n
na
.
- Nếu A
r
không bị chặn khi r → 1
thì
2
1
n
n
na
không hội tụ. Khi đó
diện tích của f(D) không xác định.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét